Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva

11º. ano – SUCESSÕES

 

Exercícios

 


1.   Os números triangulares (nome dado pelos pitagóricos) são dados pela sucessão cujo termo geral é tn=.

      a)   Calcule o 2º número triangular.

      b)   Verifique se 780 é um número triangular e, em caso afirmativo, indique a sua ordem.

                                                                                (Prova Global 95)

 

2.   Um segredo é divulgado da seguinte maneira: no princípio, apenas uma pessoa o sabe mas, a cada 15 minutos que passa, fica a sabê-lo dobro das pessoas que o sabiam anteriormente. Quantas pessoas saberão o referido segredo após 5 horas?

                                                                                (Prova Global 95)

 

3.   Seja (an) a sucessão de termo geral an=.

      a)   Mostre que se trata de uma progressão aritmética.

      b)   Tendo em conta a alínea anterior, o que se pode concluir sobre a monotonia de (an)? Justifique.

      c)   Calcule os termos de ordem 10, 1.000 e 1.000.000. Poder-se-á deduzir que a sucessão é limitada? Justifique.

      d)   Calcule a soma dos 100 primeiros termos da sucessão.

                                                                (Prova Global 95-2ª chamada)

 

4.   Seja (un) a sucessão definida por un=.

      a)   Prove que (un) é uma progressão aritmética.

      b)   Determine a soma dos 20 primeiros termos de (un).

      c)   Indique o 1º termo de (un) que verifica a condição un<-6.

                                                                                (Prova Global 96)

 

5.   O sr. Vivaço quer comprar um carro que custa 2295 contos. O stand propõe que o pagamento seja feito em 8 prestações de acordo com a seguinte regra: a segunda prestação será o dobro da primeira, a terceira o dobro da segunda e assim sucessivamente. Calcule quanto pagará o sr. Vivaço na 1ª prestação.

                                                                                (Prova Global 96)

 

6.   Alguns tipos de células reproduzem-se por bipartição, isto é, cada uma delas divide-se em dois, dando cada uma das metades origem a um nova célula completa. Em condições ideais a bipartição dá-se de 4 em 4 horas. Sabendo que inicialmente existiam 50 células, quantas existirão ao fim de 24 horas?

(A)  1600      (B)  3200           (C)  1200 (D)  3000

                                                                                (Prova Global 97)

 

7.      Seja a sucessão  .

         a)   Verifique se  é termo da sucessão.

         b)   Calcule   e em seguida estude a sucessão quanto à monotonia.

         c)   A sucessão  é uma progressão aritmética? Justifique.

         d)   Mostre que    " n Î N.

                                                                                (Prova Global 97)

 

8.      Dada uma sucessão (un), sabe-se que:     (un) é monótona; u1 = 3  Ù  u2 = 0   Ù  un > -4,5   " n Î N. Assim, podemos afirmar  que:

         (A)  (un) é crescente e limitada.

         (B)  (un) é decrescente e limitada.

         (C)  (un) é crescente e convergente para  -4,5.        (D)  (un) não é limitada.

                                                                (Prova Global 97-2ª chamada)

 

9.   Considere a sucessão definida por  vn = n2 + n - 200.

      a) Determine a ordem a partir da qual se tem  vn ³ n.

      b) Poder-se-á afirmar que (vn) é um infinitamente grande positivo? Porquê?

                                                (Prova Global 97-2ª chamada)

 

10.    O chefe de um bar aumenta o ordenado dos seus empregados segundo a fórmula Sn = S ´ 1,05n ,             sendo S o salário actual e Sn o salário daqui a n anos.

         a)   Um empregado que aufere um vencimento de 80 contos, quanto é que receberá daqui a 5 anos?

         b)   Justifique que a sucessão (Sn) é uma progressão geométrica, indicando a sua razão.

                                                                (Prova Global 97-2ª chamada)

 

11.       Seja (un) uma sucessão de números reais cujo termo geral é un – n.

(A)      (un) é uma progressão aritmética de razão –1

(B)       (un) é uma progressão geométrica de razão ½

(C)       (un) não é uma progressão (nem geométrica nem aritmética)

(D)      (un) é simultaneamente uma progressão aritmética e geométrica

                                                                                (Prova Global 98)

12.      é o termo geral da sucessão (un).

a)Determine o 1º e o 10º termos da sucessão.

b)         Prove que a sucessão é monótona.

c)Mostre que un<5  "nÎN

d)         A sucessão é limitada? Justifique a resposta.

                                                                                (Prova Global 98)

 

13.       O sr. Júlio foi multado 5 vezes porque não usava o cinto de segurança quando conduzia o seu carro. Como se tratava de uma reincidência na infracção, o valor de cada multa foi o dobro do valor da anterior. A última multa que pagou foi de 80.000$00 (a 5ª multa). Quanto pagou ao todo em multas?

                                                                                (Prova Global 98)

 

14.    A sucessão (un) é um infinitésimo e os seus termos de ordem par são monotonamente constantes (todos iguais). Qual das expressões seguintes pode definir o termo geral desta sucessão?

(A)                                         (B)

(C)           (D)

                                                                (Prova Global 98-2ª chamada)

 

15.    un=3-1/n  é o termo geral da sucessão (un).

a)Determine o 10º e o 100º termos da sucessão.

b)       Prove que a sucessão é monótona.

c)Mostre que un<4  "nÎN

d)       Justifique, recorrendo às propriedades estudadas e às sucessões de referência que lim un = 3

                                                                (Prova Global 98-2ª chamada)

 

16.    Uma harpa (instrumento triangular, de cordas, dedilhado com as duas mãos) deverá ser construída com 13 cordas equidistantes umas das outras, mas de diferentes comprimentos. O comprimento da corda menor é 0,6 m. Sabendo que os comprimentos das cordas são os primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 0,1, determine o comprimento total de corda que constitui uma harpa.

                                                                (Prova Global 98-2ª chamada)

 

17.    Considere a sucessão (an) de termo geral  . Qual das afirmações seguintes é verdadeira ?

(A)   (an) é uma progressão aritmética.

(B) (an) é uma progressão geométrica.

(C) (an) é uma sucessão monótona e limitada

(D) (an) é limitada e não monótona.

                                                                                (Prova Global 99)

 

18.    Considere a sucessão de figuras seguinte, em que cada figura é formada por um conjunto de fósforos:

 

         a)   Supondo que todos os termos da sucessão seguem a mesma lei de formação, indique, justificando, o número de fósforos necessários para a figura 5.

         b)   Sendo  (Fn)  o número de fósforos para construir a n-ésima figura, justifique que (Fn) é uma progressão aritmética crescente e indique a sua razão.

         c)   Mostre que  Fn = 8n - 4.

         d)   Quantos fósforos são precisos para construir todas as primeiras 50 figuras?

                                                                                (Prova Global 99)

 

19.    Numa certa sucessão , sabe-se que    e, para qualquer  n, . Então, podemos concluir que:

(A)  é uma sucessão crescente.                      (B)   para qualquer  n Î N.

(C)  é uma progressão aritmética.                   (D)   para qualquer  n Î N.

                                                                (Prova Global 99-2ª chamada)

 

20.    Considere a sucessão de termo geral 

         a)   Verifique se os números   1   e   1,5   são termos da sucessão.

b)    Justifique a veracidade da afirmação: « A sucessão (un) é estritamente crescente ».

c)    Mostre que a sucessão tem apenas dois termos negativos.

d)    Mostre que qualquer termo da sucessão é menor que 2.

                                                                (Prova Global 99-2ª chamada)

 

21.    Seja  (un)  uma sucessão tal que  un = 3n + 5; qual das afirmações seguintes é verdadeira?

         (A)  (un) é limitada     (B)  (un) é crescente

         (C)  u3 = 11                          (D)  (un) é constante

                                                                                (Prova Global 2000)

 

22.    A nova empresa de comunicações móveis TMCELIUS tem dois pacotes em  promoção, o PLUS e o RISO.  No PLUS o utente paga 30$00 por minuto. No RISO o utente paga 80$00 no primeiro minuto mais 20$00 por minuto a partir do primeiro. A Dona Bilharda pretende comprar um telemóvel na TMCELIUS mas não sabe qual dos pacotes deve escolher. Para efectuar um estudo, resolveu simular quantos minutos poderá falar, em média, em cada um dos sistemas.

         Atenção: Para simplificar o estudo, considerou que só falaria minutos inteiros.

         a) Qual será o custo da chamada, se a Dona Bilharda falar 8 minutos com o pacote PLUS?

         b) Qual dos pacotes é mais vantajoso, se falar 5 minutos?

         c) Construindo um gráfico representativo das duas situações, determine a partir de quantos minutos é mais vantajoso o sistema RISO.

         d) Justifique que a sucessão do custo das chamadas, no sistema RISO, é uma progressão aritmética e determine o termo geral desta sucessão.

                                                                                (Prova Global 2000)

 

23.    Em Abril de 1974, um litro de gasolina custava 11$00. A inflação média nestes últimos 26 anos foi mais ou menos de 10%. Seguindo esta taxa, hoje em dia um litro de gasolina deveria custar (aproximadamente):

(A) 39$00   (B) 286$00          (C) 1201$00    (D) 131$00

                                                                (Prova Global 2000-2ª chamada)

 

24.    A sucessão  está definida por  .

         a) Justifique que a sucessão é monótona crescente.

         b) Comente a seguinte afirmação: “Como  é crescente, logo a sucessão crescerá até ao infinito”.

                                                                (Prova Global 2000-2ª chamada)

 

25.    O gerente de um hipermercado pretende promover uma determinada marca de atum em lata. Para isso, vai dispor as embalagens em 25 círculos concêntricos (uns em cima dos outros) da seguinte forma: no círculo maior (base), serão necessárias 450 latas; cada círculo a seguir deverá ter menos 15 embalagens do que o círculo anterior e assim sucessivamente. Quantas embalagens serão necessárias?

                                                                (Prova Global 2000-2ª chamada)

 

26.    Considere a sucessão de termo geral . Qual das afirmações é falsa?

(A) un é decrescente

(B) un é uma sucessão limitada

(C) un > ½  " nÎN

(D) un é uma progressão aritmética

                                                                (Prova Global 2001)

 

27.    Uma empresa apresenta a um candidato 2 contratos a iniciar em 01/01/2001.

Contrato A: salário mensal de 100 contos e um aumento anual de 15 contos

Contrato B: salário mensal de 100 contos e um aumento anual de 12%

         a)   Qual o valor dos salários mensais em 2003, para cada contrato?

         b)   Escreva as expressões que dão os valores dos salários mensais no ano n.

         c)   Qual o 1º ano em que a escolha do contrato B beneficia o empregado? (sugestão: construa um gráfico representativo das 2 situações)

                                                                (Prova Global 2001)

 

28.    Acerca da sucessão  podemos afirmar que:

         (A) É limitada

         (B)  é termo de (un)

         (C) un £ ½ " nÎN

         (D) É não monótona e não limitada

                                                (Prova Global 2001-2ª chamada)

 

29.    Observe a sequência de figuras:

 

         a)   Quantos círculos tem em cada uma das 5 primeiras figuras da sequência? Justifique.

         b)   Determine o termo geral da sucessão.

         c)   Haverá alguma figura da sequência com 215 círculos? Porquê?

         d)   Estude analiticamente a monotonia da sucessão.

                                                                (Prova Global 2001-2ª chamada)

 

30.    O termo geral da sucessão  é:

A)                     B)

C)                        D)

                                                                (Prova Global 2002)

 

31.    No dia do aniversário dos seus 13 anos, a Juvência vai começar a fazer algumas poupanças. Assim, ela vai pôr € 100 num mealheiro novo e em cada mês, ela irá guardar € 7.

         a)   Designando por  a sucessão que representa o dinheiro poupado, em Euros, pela Juvência após  n  meses, justifique que

         b)   A Juvência prevê viajar quando acabar o 12.º ano. Na altura, ela terá, precisamente, 17 anos. Quantos Euros terá ela amealhado nessa altura?

         c)   Qual será a idade da Juvência quando ela tiver amealhado, com este sistema de poupança, um valor superior a € 1000?

                                                                (Prova Global 2002)

 

32.    É dada uma sucessão  em que se tem, para todo  n  natural, . Qual das seguintes afirmações é a correcta?

         A)   é crescente

         B)   é sempre positiva

         C) 

         D)   é uma progressão geométrica

                                                (Prova Global 2002-2ª chamada)

 

33.    Considere a sucessão definida por recorrência:

         a)   Prove que  é uma progressão aritmética, indique a razão e escreva o seu termo geral.

         b)   Estude a monotonia de .

         c)   Calcule a soma dos 30 termos a partir do quinto termo (inclusive) da progressão .

                                                (Prova Global 2002-2ª chamada)

 

 


 

Soluções:  1. 3; 39º termo                     2. 1048576              3. cresc; não lim.; 12275          4. -34; -31/5;           5. 9 cts.                     6. B

7. Não; -1/[n(n+1)] decr; Não.                  8. B                          9. 15; sim                 10. 102.103$00; 1,05                              11. A

12. 2; limitada                          13. 155 cts                               14. D                       15. 2,9 e 2,99          16. 15,6 m                               17. D       18. 36; 8; 10.000

19. D          20. 1 é termo; u1 e u2 são <0                                21. B        22. 240$00; PLUS; 20n+60     23. D       25. 6750                  26. D

27. 130 e 125,440; 15n+85 e 100´1,12n-1; 2007     28. A       29. 1,4,9,16,25; n2; não; crescente

 

 

 

As sucessões na literatura

 

Quando uma doente consegue sobreviver até aqui, 3 meses é muito tempo (...) porque o vírus [da sida] aumenta em progressão geométrica

                                                                                                                UMA FAMÍLIA PARA KATHY CAMERON, Henry Denker

 

As duas embarcações seguiam rumos convergentes (...)”

                                                                                                                                                                AVES DE RAPINA, Wilbur Smith

 

“(...)não lhe ocorreu conferir o que ele disse com a firma onde ele afirmou trabalhar? – perguntava ele pela enésima vez.

                                                                                                                                FINJAM QUE NÃO A VÊEM, Mary Higgins Clark

 

Ela vivia com os dois filhos mais novos e uma sucessão de amigos masculinos numa caravana suja sem ar condicionado.

                                                                                                                                                                O SÓCIO, John Grisham

 

Sempre a andar, como se traçassem com o pé duas rectas convergentes, foram-se aproximando.

                                                                                                                                NOVOS CONTOS DA MONTANHA, Miguel Torga

 

Ao chegar à Main Street, viu pessoas a convergirem para a capela vindas de todas as direcções.

                                                                                                                                                O CÉU NA TERRA, Lavyrle Spencer

 

-Você explicou-me que o sistema era como uma pirâmide, não foi? – inquiri. – Os dez primeiros, depois os cem, e por aí fora, certo?

                                                                                                                                                                JOGO MORTÍFERO, Lee Child

 

"Um disse ser 'improvável', outro afirmou que a possibilidade era 'infinitamente pequena' e o terceiro declarou que poderia ser feito com uma bomba atómica."

 MARTELO DO PARAÍSO, Ken Follet

 

Às 19.41, os quatro mísseis encontravam-se a cento e dez quilómetros do alvo para o qual convergiam.”

SOMBRAS SOBRE A BABILÓNIA, David Mason

 

Houve uma longa sucessão de dias quentes e pouco ventosos em que o Sol se derramava (...)”

O REGRESSO DA ÁGUIA PESQUEIRA, Ewan Clarkson

 

A auto-estrada estendia-se à sua frente, entre sebes convergentes, por quilómetros e quilómetros, demasiados para se pensar neles (...)”

”(...)e o pai esclarecera que sempre não passava de uma sucessão de agoras, e o melhor que uma pessoa podia fazer era viver cada um deles plenamente na sua vez.

O ENCANTADOR DE CAVALOS, Nicholas Evans

 

Nos malares, sem pêlo, a epiderme morena, cor da espuma das boquilhas tinha-se coberto de rugas divergentes em torno dos olhos, de tanto que estes haviam piscado.

AS VINHAS DA IRA, John Steinbeck

 

À medida que Geller ia premindo as teclas, os quadrados iam-se tornando novamente mais pequenos, começando a convergir na figura do Coveiro do peito para cima.

A LÁGRIMA DO DIABO, Jeffery Deaver

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                O professor: RobertOliveira